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Construire l’image d’un point par une translation

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Translation maths

La translation est le déplacement ou le glissement rectiligne permettant de donner l’image d’un point, soit d’un point A en un autre point, soit de deux points AB en une figure d’un plan. De même direction, de même sens et de même longueur.

L’image d’un point

La translation maths permet de faire glisser sans faire tourner une figure donnée afin d’obtenir une image semblable à la première. On déplace alors tous les points de l’image sur des droites parallèles, sur une même distance et dans le même sens.

Un point C devient alors C’ après la translation transformant A en B. Les données du point A et son image B caractérise la translation. On dit que C’ est le translaté de C. C’est l’image de C par la translation.

Exemple : Concernant l’image d’un point. Dans un premier cas : si on donne un point E n’appartenant pas à une droite (AB). Si F est l’image du point E par la translation transformant A en B, alors on a un quadrilatère AEFB qui est un parallélogramme.

Dans un deuxième cas : si E appartient à la droite (AB). Le point F est alors aussi sur la droite (AB), alors nous avons un parallélogramme aplati.

Comment construire l’image d’un point ? Soit A, B et C, 3 points qui ne s’alignent pas. Pour construire l’image D du point C par la translation transformant A en B. On construit alors le point D en donnant un parallélogramme ABDC.

Comment peut-on montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? Afin de démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de mettre en évidence une translation transformant deux sommets du quadrilatère en ses deux autres sommets. Visitez www.accromaths.fr/ pour encore plus de précision sur la translation maths.

 

Image d’une figure

Image d’une droite : Soit une droite (D’), l’image d’une droite (D) par translation. (D’) est parallèle à (D). Tout point appartenant à (D) a alors une image sur la droite (D’).

Image d’une demi-droite : Soit une demi-droite [A’B), l’image d’une demi-droite [AB) par translation. [A’B) est parallèle à [AB) telle que A’ est l’image de A.

Image d’un segment : Soit un segment [A’B’] l’image d’un segment [AB] par une translation. [A’B’] est de même longueur à [AB]. Il est porté par une droite parallèle. Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles et AB = A’B’.  A’ est l’image de A et B’ est l’image de B.

Image d’un triangle : De mêmes dimensions, un triangle est l’image par une translation d’un autre triangle. L’image est superposable au triangle. Le triangle ABC a pour image un triangle A’B’C’ (qui lui est superposable).

Image d’un cercle : L’image d’un cercle O par une translation est un cercle O’ ayant les mêmes rayons. Les centres sont des images par la translation.

Image d’une figure quelconque. Une image par translation d’une figure donnée est superposable.

Propriétés d’une translation :

 

Il existe des invariants dans une translation du plan.

Sont conservés lors d’une translation : les traces données de la translation; le parallélisme, soit des figures, des segments ou des droites du plan; la perpendicularité ; le périmètre des figures planes; l’aire des figures planes; longueurs ou distances des images ; la mesure des angles; l’alignement des points, ainsi que l’orientation du plan. Une figure géométrique devient une figure géométrique isométrique grâce à  la translation.

En translation, la figure ne pivote pas, mais elle effectue tout simplement un déplacement ou un glissement.

Il est ainsi admis que le glissement n’entraîne ni de changement de disposition, ni déformation.

Afin d’obtenir l’image d’une figure géométrique, on ne fait monter donc que l’image des points caractéristiques de cette image : pour construire l’image d’un segment, par exemple, on construit ses extrémités, pour l’image d’un triangle, on construit ses trois sommets, et pour bâtir l’image d’un cercle, on établit son centre et son rayon…

 

Pourquoi la translation ? Pavage, frise et quadrillage

Le quadrillage : pour construire aisément des images par la translation, on peut utiliser le quadrillage. Les carreaux du quadrillage permettent le déplacement de l’image.

Pavage : un exemple de pavage qu’on trouve fréquemment est le carrelage d’une pièce.

Afin de paver un plan, on doit obtenir un motif M. Comment obtient-on ce motif ? En appliquant une translation t. Cette translation transforme A en B au motif M. Par la suite des images obtenues successivement, on a la première ligne. Ensuite, on emploie la translation t’ transformant C en D au motif M ensuite aux images obtenues. On recouvre ainsi la feuille grâce aux images obtenues sans laisser d’espace. On obtient des images en forme de zigzag, on reconnaît que le motif M est le motif minimum permettant de “paver” le plan.

Frise : La translation permet aussi d’obtenir une frise. Comment ? En appliquant une translation transformant A en B, puis de manière successive aux images obtenues. On obtient alors une frise. La clôture de grillage est un exemple de forme de frise obtenu par translation.

Par ailleurs, on peut construire des dallages grâce à la translation maths.